<数学之友>上的一道几何题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 20:55:53
梯形ABCD中,AB//DC,高AE=12,BD=15,AC=20.
(1)求AB+CD的长;
(2)求证AC垂直BD.

延长DC到F，使得CF=AB
过B作BG⊥CD于G
则BG=AE=12
由BD=15，BG=12
根据勾股定理
DG"=BD"-BG" = 225-144=81
DG=9
由AB//CD，AB=CF得到AC=BF
由BF=20，BG=12
根据勾股定理
FG"=FB"-BG" = 400-144=256
FG=16
DF+FG=DC+CF=CD+AB
所以AB+CD=25

BD=15，FB=20，DF=25
BD"+GB"=DG"
BD⊥BG
BG//AC
BD⊥AC

（1）
过B点作高BF垂直于CD与CD相交于F点，则BF=AE=12
所以EC=(AC^2-AE^2)^(1/2)=16；DF=(BD^2-BF^2)^(1/2)=9
AB=EF
所以AB+CD=AB+DE+DF+CF=DF+CE=16+9=25

（2）
S梯=(1/2)*(AB+CD)*AE=0.5*25*12=150
而AC*BD/2又恰好等于150，所以AC垂直于BD。